הפונקציה sin x + cos x · מתכונת 35571

1. נפתח את אגף ימין לפי נוסחת סינוס הסכום: sin(x+π/4) = sinx·cos(π/4) + cosx·sin(π/4).
2. נציב cos(π/4)=sin(π/4)=√2/2: sin(x+π/4) = sinx·(√2/2) + cosx·(√2/2) = (√2/2)·(sinx+cosx).
3. נכפול את שני האגפים ב-√2: √2·sin(x+π/4) = √2·(√2/2)·(sinx+cosx) = (2/2)·(sinx+cosx) = sinx+cosx.
4. קיבלנו בדיוק את אגף שמאל, ולכן הזהות מתקיימת לכל x.

תשובה: sinx+cosx = √2·sin(x+π/4) לכל x.

1. פונקציית הסינוס מקבלת ערכים בין −1 ל-1 בלבד, ולכן f(x)=√2·sin(x+π/4) מקבלת ערכים בין −√2 ל-√2.
2. הערך המרבי √2 מתקבל כאשר sin(x+π/4)=1, כלומר x+π/4=π/2+2πn (n שלם), ולכן x=π/4+2πn.
3. הערך המזערי −√2 מתקבל כאשר sin(x+π/4)=−1, כלומר x+π/4=−π/2+2πn, ולכן x=−3π/4+2πn.

תשובה: מקסימום √2 ב-x=π/4+2πn; מינימום −√2 ב-x=−3π/4+2πn (n שלם).

1. דרך ראשונה, גזירה ישירה: נגזרת sinx היא cosx, ונגזרת cosx היא −sinx. לכן f'(x)=cosx−sinx.
2. דרך שנייה, גזירת √2·sin(x+π/4) לפי כלל השרשרת: f'(x) = √2·cos(x+π/4).
3. נפתח לפי נוסחת קוסינוס הסכום: cos(x+π/4) = cosx·cos(π/4) − sinx·sin(π/4) = (√2/2)cosx − (√2/2)sinx.
4. נציב: f'(x) = √2·[(√2/2)cosx − (√2/2)sinx] = cosx − sinx.
5. שתי הדרכים נותנות בדיוק את אותה תוצאה: f'(x)=cosx−sinx.

תשובה: f'(x) = cosx − sinx (משתי הדרכים).

1. מהצורה f(x)=√2·sin(x+π/4) רואים כי f היא פונקציית סינוס עם מקדם x פנימי 1 (כלומר sin(1·x+π/4)), ולכן מחזורה זהה למחזור של sin(x), שהוא 2π.
2. אין מחזור קטן יותר: לדוגמה f(0)=sin0+cos0=1, ואילו f(π)=sinπ+cosπ=−1≠1, ולכן π אינו מחזור. המחזור המינימלי הוא 2π.

תשובה: T=2π