שאלת מתכונת — שאלון 35571

1. לפי סדר הנקודות A,C,B,D סביב ההיקף, הקשת BC (בין B ל-C, בכיוון הישיר, שאינה עוברת דרך A ואינה עוברת דרך D) היא קשת יחידה משותפת.
2. ∠BAC היא זווית היקפית שקודקודה A, הנשענת על קשת BC שאינה מכילה את A. ∠BDC היא זווית היקפית שקודקודה D, הנשענת על אותה קשת BC (שאינה מכילה גם את D).
3. לפי משפט הזווית ההיקפית, כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו, ולכן ∠BAC=∠BDC.
4. מכיוון ש-P נמצאת על הקטע AB (בין A ל-B), הקרן AP זהה לקרן AB, ולכן ∠PAC=∠BAC. מכיוון ש-P נמצאת על הקטע CD (בין C ל-D), הקרן DP זהה לקרן DC, ולכן ∠PDB=∠CDB=∠BDC.
5. נחבר את השוויונות: ∠PAC=∠BAC=∠BDC=∠PDB, ומכאן ∠PAC=∠PDB.

תשובה: ∠BAC=∠BDC (זוויות היקפיות על אותה קשת BC), ולכן ∠PAC=∠PDB.

1. מכיוון ש-A,P,B נמצאות על ישר אחד (המיתר AB) ו-C,P,D נמצאות על ישר אחר (המיתר CD), שני הישרים AB ו-CD נחתכים בנקודה P.
2. הקרן PB היא הקרן הנגדית לקרן PA (כי A,P,B על ישר אחד), והקרן PD היא הקרן הנגדית לקרן PC (כי C,P,D על ישר אחד). זווית בין שתי קרניים נגדיות-בהתאמה לזווית נתונה היא הזווית הקדקודית שלה, ולכן ∠APC=∠DPB (זוויות קדקודיות שנוצרות בחיתוך שני הישרים).
3. מסעיף א' הוכח כי ∠PAC=∠PDB — כלומר הזווית בקודקוד A במשולש APC שווה לזווית בקודקוד D במשולש DPB.
4. נמצאו שתי זוויות שוות בין המשולשים APC ו-DPB: ∠APC=∠DPB (בקודקוד P) ו-∠PAC=∠PDB (בקודקודים A,D). לפי משפט הדמיון זווית-זווית, משולש APC דומה למשולש DPB, בהתאמה A↔D, P↔P, C↔B.

תשובה: משולש APC ~ משולש DPB (זווית-זווית), התאמה A↔D, P↔P, C↔B.

1. מהדמיון משולש APC ~ משולש DPB (בהתאמה A↔D, P↔P, C↔B) נובע יחס הצלעות המתאימות: PA/PD = PC/PB (= AC/DB).
2. נכפול בהצלבה את השוויון הראשון PA/PD=PC/PB (מותר, כי כל האורכים חיוביים): PA·PB=PC·PD, כנדרש.

תשובה: PA·PB=PC·PD

1. לפי המשפט: PA·PB=PC·PD, כלומר 4·9=6·PD, ומכאן 36=6·PD, ולכן PD=6.
2. יחס הדמיון: PA/PD=4/6=2/3. לפי הדמיון (סעיף ב'), גם AC/DB שווה לאותו יחס: 6/DB=2/3.
3. נפתור: DB = 6·(3/2) = 9.

תשובה: PD=6, DB=9.