שאלת מתכונת — שאלון 35571

1. כדי שהכיול המוצלח הראשון יתרחש בדיוק בניסיון ה-k, נדרש שהניסיונות 1,2,...,k−1 כולם ייכשלו, ושהניסיון ה-k יצליח.
2. הסתברות כישלון בניסיון בודד היא (1−p), ומכיוון שהניסיונות בלתי תלויים, ההסתברות ש-(k−1) הניסיונות הראשונים כולם נכשלים היא (1−p) בחזקת (k−1) (מכפלת ההסתברויות, לפי בלתי-תלות).
3. ההסתברות שהניסיון ה-k (הבא בתור) יצליח היא p, ושוב מבלתי-תלות הניסיונות ניתן להכפיל: P(X=k) = (1−p) בחזקת (k−1)·p, כנדרש.

תשובה: P(X=k) = (1−p) בחזקת (k−1)·p

1. נציב בנוסחה מסעיף א' k=3, p=2/5, (1−p)=3/5: P(X=3) = (3/5)²·(2/5).
2. נחשב: (3/5)²=9/25. לכן P(X=3) = (9/25)·(2/5) = 18/125.

תשובה: 18/125

1. המאורע "נדרשים יותר מ-k ניסיונות עד להצלחה הראשונה" שקול בדיוק למאורע "כל אחד מ-k הניסיונות הראשונים נכשל" (ללא כל דרישה על מה שקורה בניסיון ה-(k+1) ואילך).
2. הסתברות כישלון בניסיון בודד היא (1−p), ומבלתי-תלות הניסיונות, ההסתברות שכל k הניסיונות הראשונים נכשלים היא מכפלת ההסתברויות: (1−p)·(1−p)·...·(1−p) (k פעמים) = (1−p)ᵏ.
3. לכן P(X>k) = (1−p)ᵏ, כנדרש.

תשובה: P(X>k) = (1−p)ᵏ

1. נציב בנוסחה מסעיף ג' k=4, (1−p)=3/5: P(X>4) = (3/5)⁴.
2. נחשב: (3/5)⁴ = 81/625.

תשובה: 81/625

1. המאורעות "X≤4" (הצלחה תוך 4 ניסיונות לכל היותר) ו-"X>4" (יותר מ-4 ניסיונות) הם מאורעות משלימים — בדיוק אחד מהם מתקיים תמיד, ולכן P(X≤4)=1−P(X>4).
2. נציב את התוצאה מסעיף ד': P(X≤4) = 1 − 81/625 = 625/625 − 81/625 = 544/625.

תשובה: 544/625