שאלת מתכונת — שאלון 35571

1. זהו ניסוי בינומי עם n=5 זריקות, הסתברות הצלחה p=1/3 בכל זריקה, ואנו מחפשים בדיוק k=2 הצלחות.
2. לפי נוסחת ההתפלגות הבינומית: P(X=2) = C(5,2)·(1/3)²·(2/3)³.
3. נחשב: C(5,2)=10, (1/3)²=1/9, (2/3)³=8/27.
4. נציב: P(X=2) = 10·(1/9)·(8/27) = 80/243.

תשובה: 80/243

1. נחשב תחילה P(אף לא הצלחה אחת) = P(X=0) = C(5,0)·(1/3)⁰·(2/3)⁵ = (2/3)⁵ = 32/243.
2. P(לפחות הצלחה אחת) = 1 − P(X=0) = 1 − 32/243 = 211/243.
3. לפי נוסחת ההסתברות המותנית: P(X=2 | X≥1) = P(X=2 ∩ X≥1)/P(X≥1) = P(X=2)/P(X≥1), מכיוון שהמאורע X=2 מוכל כולו במאורע X≥1.
4. נציב את התוצאות מסעיף א' ומהחישוב לעיל: P(X=2 | X≥1) = (80/243)/(211/243) = 80/211.

תשובה: 80/211

1. ההסתברות שהקליעה הראשונה מתרחשת דווקא בזריקה מספר n היא P(n) = (2/3)^(n−1)·(1/3) — כל הזריקות הקודמות נכשלות (הסתברות 2/3 כל אחת) והזריקה ה-n מצליחה (הסתברות 1/3).
2. אנו מחפשים את סכום ההסתברויות עבור n אי-זוגי: n=1,3,5,7,... — סכום P(1)+P(3)+P(5)+...
3. זו סדרה הנדסית: האיבר הראשון (n=1) הוא 1/3, והיחס בין כל איבר לקודמו (מ-n ל-n+2) הוא (2/3)²=4/9.
4. סכום סדרה הנדסית אינסופית (מנה |q|<1): S = a1/(1−q) = (1/3)/(1−4/9) = (1/3)/(5/9) = (1/3)·(9/5) = 3/5.

תשובה: 3/5

1. כל זריקה היא בעלת מספר סידורי אי-זוגי או זוגי — בדיוק אחת משתי האפשרויות, ללא חפיפה וללא אפשרות שלישית.
2. מכיוון שהסתברות ההצלחה בכל זריקה חיובית (p=1/3>0), הקליעה הראשונה מתרחשת בהכרח (בהסתברות 1) במספר זריקה כלשהו — אי-זוגי או זוגי — ולכן P(אי-זוגי)+P(זוגי)=1.
3. נציב את התוצאה מסעיף ג': P(זוגי) = 1 − P(אי-זוגי) = 1 − 3/5 = 2/5.

תשובה: 2/5