שאלת מתכונת — שאלון 35571

1. סכום הזוויות במשולש הוא 180°, ולכן C = 180°−A−B = 180°−30°−45° = 105°.

תשובה: זווית C = 105°

1. משפט הסינוסים: BC/sinA = AC/sinB.
2. נציב BC=k: AC = BC·sinB/sinA = k·sin45°/sin30° = k·(√2/2)/(1/2) = k·(√2/2)·2 = k√2.

תשובה: AC = k√2 מטר.

1. נסמן משולש עם קודקוד משותף שממנו יוצאות הצלעות p ו-q, והזווית הכלואה ביניהן γ. נוריד גובה מקצה הצלע q אל הישר המכיל את הצלע p; נסמן את אורך הגובה ב-h.
2. הגובה h הוא הניצב שמול הזווית γ במשולש ישר-הזווית שנוצר, כאשר q הוא היתר של אותו משולש קטן, ולכן sinγ = h/q, כלומר h = q·sinγ.
3. שטח המשולש המקורי שווה למחצית מכפלת הבסיס p בגובה h: S = (1/2)·p·h = (1/2)·p·q·sinγ.

תשובה: S = (1/2)·p·q·sinγ

1. במשולש ACH הישר-זווית בקודקוד H: הזווית בקודקוד A היא 30°, והיתר AC=10√2. לכן CH = AC·sinA = 10√2·(1/2) = 5√2.
2. בדיקה נוספת ממשולש BCH הישר-זווית בקודקוד H: הזווית בקודקוד B היא 45°, והיתר BC=10. לכן CH = BC·sinB = 10·(√2/2) = 5√2 — זהה לתוצאה הקודמת, כמצופה.

תשובה: CH = 5√2 מטר.

1. נחשב את AH ו-BH: AH = AC·cosA = 10√2·(√3/2) = 5√6. BH = BC·cosB = 10·(√2/2) = 5√2.
2. אורך הצלע AB: AB = AH+BH = 5√6+5√2.
3. שטח המשולש שווה למחצית מכפלת הבסיס AB בגובה CH: S = (1/2)·AB·CH = (1/2)·(5√6+5√2)·5√2.
4. נפתח: (5√6+5√2)·5√2 = 25√12 + 25·2 = 25·2√3 + 50 = 50√3+50.
5. S = (1/2)·(50√3+50) = 25√3+25 = 25(√3+1) מ"ר.

תשובה: שטח ABC = 25(√3+1) מ"ר.