הפונקציה tan x בקטע פתוח · מתכונת 35571

1. נכתוב f(x)=sinx·(cosx) בחזקת (−1).
2. כלל המכפלה: f'(x) = (sinx)'·(cosx) בחזקת (−1) + sinx·[(cosx) בחזקת (−1)]'.
3. נגזרת sinx היא cosx. לגזירת (cosx) בחזקת (−1) נשתמש בכלל השרשרת: [(cosx) בחזקת (−1)]' = (−1)·(cosx) בחזקת (−2)·(cosx)' = (−1)·(cosx) בחזקת (−2)·(−sinx) = sinx·(cosx) בחזקת (−2).
4. נציב: f'(x) = cosx·(cosx) בחזקת (−1) + sinx·[sinx·(cosx) בחזקת (−2)] = 1 + sin²x·(cosx) בחזקת (−2) = 1 + sin²x/cos²x.
5. לפי הגדרת הטנגנס, sin²x/cos²x=tan²x, ולכן f'(x)=1+tan²x.
6. לפי הזהות sin²x+cos²x=1: 1+tan²x = 1+sin²x/cos²x = (cos²x+sin²x)/cos²x = 1/cos²x. לכן f'(x)=1/cos²x=1+tan²x.

תשובה: f'(x) = 1/cos²x = 1+tan²x

1. בכל נקודה בקטע הפתוח (−π/2,π/2) מתקיים cosx≠0 (הרי בדיוק בגלל זה זהו תחום ההגדרה), ולמעשה cosx>0 ממש בקטע זה (מעל ציר ה-x בין −π/2 ל-π/2), ולכן cos²x>0.
2. לכן f'(x)=1/cos²x>0 ממש לכל x בקטע — הנגזרת חיובית לגמרי, ואינה מתאפסת באף נקודה.
3. מכיוון ש-f'(x)>0 בכל מקום, f עולה ממש בכל הקטע באופן ישיר.
4. זהו טיעון פשוט יותר מהמקרה שבו הנגזרת רק אינה שלילית (f'(x)≥0) ומתאפסת בנקודות בודדות ומבודדות — שם נדרש טיעון נוסף (בשלילה) כדי לשלול אפשרות של קטע שטוח שבו הפונקציה קבועה; כאן, מכיוון שהנגזרת חיובית ממש בכל מקום וללא יוצא מן הכלל, המסקנה על עלייה ממש מתקבלת מיד וללא צורך בטיעון נוסף.

תשובה: f'(x)=1/cos²x>0 תמיד בקטע (אינה מתאפסת בשום נקודה), ולכן f עולה ממש בכל הקטע.

1. יחידות (לכל היותר פתרון אחד): לפי סעיף ב', f עולה ממש בכל הקטע, ולכן f חד-חד-ערכית (אינה יכולה לקבל אותו ערך פעמיים) — מכאן שלכל c קיים לכל היותר פתרון אחד למשוואה tanx=c.
2. קיום (לפחות פתרון אחד): כאשר x שואף ל-π/2 מכיוון שמאל (x→(π/2)⁻), מתקיים sinx→1 ו-cosx→0⁺, ולכן tanx→+∞. כאשר x שואף ל-−π/2 מכיוון ימין (x→(−π/2)⁺), מתקיים sinx→−1 ו-cosx→0⁺, ולכן tanx→−∞.
3. מכיוון ש-f רציפה בכל הקטע הפתוח וערכיה נעים ללא הפסקה מ-−∞ ועד ל-+∞ (עולה ממש בדרך), לכל מספר ממשי c קיימת נקודה בקטע שבה f מקבלת בדיוק את הערך c — כלומר קיים לפחות פתרון אחד.
4. בשילוב הקיום (לפחות פתרון אחד) והיחידות (לכל היותר פתרון אחד), מתקבל: לכל c ממשי קיים בקטע (−π/2,π/2) פתרון יחיד בדיוק למשוואה tanx=c.

תשובה: לכל c ממשי קיים בקטע פתרון יחיד (קיום מגבולות אינסופיים, יחידות מהמונוטוניות הממשית).

1. (1) ידוע כי tan(π/6)=1/√3, ו-π/6 נמצא בקטע (−π/2,π/2) — לפי סעיף ג' זהו הפתרון היחיד, x=π/6.
2. (2) ידוע כי tan(π/3)=√3. מכיוון שהטנגנס פונקציה אי-זוגית, tan(−π/3)=−tan(π/3)=−√3. הנקודה −π/3 נמצאת בקטע (−π/2,π/2), ולפי סעיף ג' זהו הפתרון היחיד, x=−π/3.

תשובה: (1) x=π/6. (2) x=−π/3.