שאלת מתכונת — שאלון 35571

1. נשתמש בזהות הזווית הכפולה: cos2x = 1−2sin²x.
2. נציב: f(x) = 2sinx + cos2x = 2sinx + (1−2sin²x) = −2sin²x + 2sinx + 1.

תשובה: f(x) = −2sin²x + 2sinx + 1

1. נגזרת של 2sinx היא 2cosx. נגזרת של cos2x (כלל השרשרת) היא −sin2x·2=−2sin2x.
2. לכן f'(x) = 2cosx − 2sin2x.
3. לפי זהות הזווית הכפולה sin2x=2sinx·cosx: f'(x) = 2cosx − 2·(2sinx·cosx) = 2cosx − 4sinx·cosx.
4. נוציא גורם משותף 2cosx: f'(x) = 2cosx·(1−2sinx).

תשובה: f'(x) = 2cosx(1−2sinx)

1. נשווה את הנגזרת מסעיף ב' לאפס: f'(x)=2cosx(1−2sinx)=0, כלומר cosx=0 או sinx=1/2.
2. פתרונות cosx=0 בקטע [0,2π]: x=π/2, x=3π/2. פתרונות sinx=1/2 בקטע [0,2π]: x=π/6, x=5π/6.
3. סדר הנקודות על הקטע: π/6, π/2, 5π/6, 3π/2. נבדוק את סימן f' בכל תת-קטע (הצבת נקודת בדיקה): ב-(0,π/6) מתקבל f'>0 (עולה); ב-(π/6,π/2) מתקבל f'<0 (יורדת); ב-(π/2,5π/6) מתקבל f'>0 (עולה); ב-(5π/6,3π/2) מתקבל f'<0 (יורדת); ב-(3π/2,2π) מתקבל f'>0 (עולה).
4. לפי החלפת הסימן: ב-x=π/6 הפונקציה עוברת מעלייה לירידה — מקסימום מקומי. ב-x=π/2 עוברת מירידה לעלייה — מינימום מקומי. ב-x=5π/6 עוברת מעלייה לירידה — מקסימום מקומי. ב-x=3π/2 עוברת מירידה לעלייה — מינימום מקומי.
5. נחשב את ערכי הפונקציה: f(π/6)=2·(1/2)+cos(π/3)=1+1/2=3/2. f(π/2)=2·1+cos(π)=2−1=1. f(5π/6)=2·(1/2)+cos(5π/3)=1+1/2=3/2. f(3π/2)=2·(−1)+cos(3π)=−2−1=−3.

תשובה: מקסימום מקומי ב-x=π/6 וב-x=5π/6 (f=3/2); מינימום מקומי ב-x=π/2 (f=1) וב-x=3π/2 (f=−3).

1. הפונקציה מחזורית עם מחזור 2π (הן sinx והן cos2x מחזוריות, עם מחזור משותף 2π), ולכן מספיק לבחון את הערכים בקטע [0,2π] — שנמצאו בסעיף ג'.
2. לחלופין: נציב u=sinx∈[−1,1]. לפי סעיף א', f=−2u²+2u+1 — פרבולה הפוכה (פותחת כלפי מטה) במשתנה u, עם קודקוד ב-u=−2/(2·(−2))=0.5 (בתוך [−1,1]).
3. ערך הפונקציה בקודקוד: f=−2·(0.5)²+2·0.5+1=−0.5+1+1=1.5=3/2 — זהו הערך המרבי (מתקבל כאשר sinx=0.5).
4. בקצוות התחום u=−1 ו-u=1: ב-u=−1: f=−2−2+1=−3. ב-u=1: f=−2+2+1=1. מכיוון שהפרבולה פונה כלפי מטה, הערך המזערי על הקטע הסגור מתקבל באחד הקצוות — וכאן זהו −3 (ב-u=−1, כלומר x=3π/2), בהתאמה מלאה לסעיף ג'.
5. לכן תחום הערכים של f על פני כל x ממשי הוא [−3, 3/2].

תשובה: תחום הערכים: [−3, 3/2]