שאלת מתכונת — שאלון 35571

1. נוסחת שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן: S = (1/2)·AB·AC·sinα.
2. נציב AB=AC=2k: S = (1/2)·(2k)·(2k)·sinα = (1/2)·4k²·sinα = 2k²·sinα.

תשובה: S = 2k²·sinα

1. משפט הקוסינוסים במשולש ABC: BC² = AB²+AC²−2·AB·AC·cosα.
2. נציב AB=AC=2k: BC² = (2k)²+(2k)²−2·(2k)·(2k)·cosα = 4k²+4k²−8k²cosα = 8k²(1−cosα).
3. נוציא שורש (BC אורך, חיובי): BC = √(8k²(1−cosα)) = 2k·√(2(1−cosα)).

תשובה: BC = 2k·√(2(1−cosα))

1. נציב α=60° בנוסחת השטח מסעיף א': S = 2k²·sin60° = 2k²·(√3/2) = k²√3.
2. נשווה לנתון: k²√3 = 18√3.
3. נחלק את שני האגפים ב-√3: k² = 18.
4. נוציא שורש (k>0): k = √18 = 3√2 מטר.

תשובה: k = 3√2 מטר.

1. נחשב את אורך השוקיים: AB=AC=2k=2·3√2=6√2 מטר.
2. נחשב את אורך הבסיס לפי הנוסחה מסעיף ב', עם α=60°: BC = 2k·√(2(1−cos60°)) = 2k·√(2·(1−1/2)) = 2k·√(2·1/2) = 2k·√1 = 2k.
3. נציב k=3√2: BC = 2·3√2 = 6√2 מטר — בדיוק כמו אורך השוקיים.
4. מכיוון שכל שלוש הצלעות שוות (AB=AC=BC=6√2), המשולש הוא שווה-צלעות — כפי שאכן מתחייב במשולש שווה-שוקיים עם זווית ראש 60°, שבו שתי זוויות הבסיס יוצאות 60° כל אחת לפי סכום זוויות המשולש.
5. היקף המשולש: 3·6√2 = 18√2 מטר.

תשובה: AB=AC=BC=6√2 מטר, היקף = 18√2 מטר.