שאלון 35571פרק ג' — גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור22 נקודות · מאתגרת
מתכננים גג משולש שווה-שוקיים עבור מבנה חדש. שוקי המשולש (הצלעות השוות) הן AB ו-AC, כל אחת מהן באורך 2k מטרים (כאשר k>0 הוא פרמטר), והזווית בין השוקיים (הזווית בקודקוד A) היא α.
א.בטאו את שטח המשולש S באמצעות הפרמטרים k ו-α.
5 נק׳הציגו פתרון
- נוסחת שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן: S = (1/2)·AB·AC·sinα.
- נציב AB=AC=2k: S = (1/2)·(2k)·(2k)·sinα = (1/2)·4k²·sinα = 2k²·sinα.
תשובה: S = 2k²·sinα
ב.באמצעות משפט הקוסינוסים, בטאו את אורך הבסיס BC באמצעות k ו-α.
5 נק׳הציגו פתרון
- משפט הקוסינוסים במשולש ABC: BC² = AB²+AC²−2·AB·AC·cosα.
- נציב AB=AC=2k: BC² = (2k)²+(2k)²−2·(2k)·(2k)·cosα = 4k²+4k²−8k²cosα = 8k²(1−cosα).
- נוציא שורש (BC אורך, חיובי): BC = √(8k²(1−cosα)) = 2k·√(2(1−cosα)).
תשובה: BC = 2k·√(2(1−cosα))
ג.נתון כי α=60° ושטח המשולש הוא 18√3 מ"ר. מצאו את ערך הפרמטר k.
6 נק׳הציגו פתרון
- נציב α=60° בנוסחת השטח מסעיף א': S = 2k²·sin60° = 2k²·(√3/2) = k²√3.
- נשווה לנתון: k²√3 = 18√3.
- נחלק את שני האגפים ב-√3: k² = 18.
- נוציא שורש (k>0): k = √18 = 3√2 מטר.
תשובה: k = 3√2 מטר.
ד.עבור הערך של k שמצאתם בסעיף ג' (וα=60°), הראו כי המשולש שהתקבל הוא למעשה משולש שווה-צלעות, ומצאו את היקפו.
6 נק׳הציגו פתרון
- נחשב את אורך השוקיים: AB=AC=2k=2·3√2=6√2 מטר.
- נחשב את אורך הבסיס לפי הנוסחה מסעיף ב', עם α=60°: BC = 2k·√(2(1−cos60°)) = 2k·√(2·(1−1/2)) = 2k·√(2·1/2) = 2k·√1 = 2k.
- נציב k=3√2: BC = 2·3√2 = 6√2 מטר — בדיוק כמו אורך השוקיים.
- מכיוון שכל שלוש הצלעות שוות (AB=AC=BC=6√2), המשולש הוא שווה-צלעות — כפי שאכן מתחייב במשולש שווה-שוקיים עם זווית ראש 60°, שבו שתי זוויות הבסיס יוצאות 60° כל אחת לפי סכום זוויות המשולש.
- היקף המשולש: 3·6√2 = 18√2 מטר.
תשובה: AB=AC=BC=6√2 מטר, היקף = 18√2 מטר.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של GeekHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.