שביל אל אמצע הצלע — תיכון · מתכונת 35571

1. נסמן θ=∠AMB. מכיוון ש-B,M,C נמצאות על ישר אחד (M אמצע BC) ו-A מחוץ לישר זה, הזוויות ∠AMB ו-∠AMC משלימות זו לזו לזווית שטוחה: ∠AMC=180°−θ.
2. במשולש AMB, לפי משפט הקוסינוסים (עם BM=a/2): AB² = AM²+BM²−2·AM·BM·cosθ, כלומר c² = mₐ²+(a/2)²−2·mₐ·(a/2)·cosθ.
3. במשולש AMC, לפי משפט הקוסינוסים (עם CM=a/2 וזווית 180°−θ): AC² = AM²+CM²−2·AM·CM·cos(180°−θ). מכיוון ש-cos(180°−θ)=−cosθ, מתקבל: b² = mₐ²+(a/2)²+2·mₐ·(a/2)·cosθ.
4. נחבר את שתי המשוואות (איברי הקוסינוס מתבטלים, כי הם באותו גודל ובסימנים מנוגדים): b²+c² = 2mₐ²+2(a/2)² = 2mₐ²+a²/2.
5. נבודד את mₐ²: 2mₐ² = b²+c²−a²/2, ומכאן mₐ² = (b²+c²)/2 − a²/4 = (2b²+2c²−a²)/4, כנדרש.

תשובה: mₐ² = (2b²+2c²−a²)/4

1. משפט הקוסינוסים: a² = b²+c²−2bc·cosA.
2. נציב b=3k, c=2k, cosA=cos120°=−1/2: a² = (3k)²+(2k)²−2·(3k)·(2k)·(−1/2) = 9k²+4k²+6k² = 19k².
3. נוציא שורש (a>0, k>0): a = k√19.

תשובה: a = k√19

1. נציב בנוסחה מסעיף א': mₐ² = (2b²+2c²−a²)/4 = (2·(3k)²+2·(2k)²−(k√19)²)/4.
2. נחשב: 2·9k²+2·4k²−19k² = 18k²+8k²−19k² = 7k². לכן mₐ² = 7k²/4.
3. נוציא שורש (mₐ>0, k>0): mₐ = k√7/2.

תשובה: mₐ = k√7/2

1. נשווה את התוצאה מסעיף ג' לנתון: k√7/2 = 3√7.
2. נחלק את שני האגפים ב-√7: k/2=3, ומכאן k=6.
3. נחשב את אורכי הצלעות: c=2k=12, b=3k=18.
4. שטח המשולש לפי הנוסחה S=(1/2)·b·c·sinA: S = (1/2)·18·12·sin120° = 108·(√3/2) = 54√3 מ"ר.

תשובה: k=6, שטח המשולש = 54√3 מ"ר.