שאלון 35571פרק ג' — גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור22 נקודות · ברמת הבחינה
מרובע ABCD חסום במעגל, כאשר סדר הקודקודים סביב ההיקף הוא A, B, C, D. מסמנים ב"קשת BCD" את הקשת בין B ל-D העוברת דרך C (ואינה מכילה את A), וב"קשת BAD" את הקשת בין B ל-D העוברת דרך A (ואינה מכילה את C).
א.הסבירו, תוך שימוש במשפט הזווית ההיקפית, מדוע ∠DAB = (1/2)·(קשת BCD), ומדוע ∠BCD = (1/2)·(קשת BAD).
5 נק׳הציגו פתרון
- ∠DAB היא זווית היקפית שקודקודה A, הנשענת על הקשת שבין B ל-D שאינה מכילה את A — זוהי בדיוק "קשת BCD" (העוברת דרך C).
- לפי משפט הזווית ההיקפית, גודל זווית היקפית שווה תמיד למחצית מגודל הקשת שעליה היא נשענת: ∠DAB = (1/2)·(קשת BCD).
- באופן דומה, ∠BCD היא זווית היקפית שקודקודה C, הנשענת על הקשת שבין B ל-D שאינה מכילה את C — זוהי "קשת BAD" (העוברת דרך A). לכן ∠BCD = (1/2)·(קשת BAD).
תשובה: שתי הזוויות היקפיות, כל אחת נשענת על הקשת שאינה מכילה את קודקודה, ולכן שווה למחצית מגודלה.
ב.הוכיחו כי ∠DAB + ∠BCD = 180°.
6 נק׳הציגו פתרון
- קשת BCD וקשת BAD יחד מרכיבות את היקף המעגל השלם ללא חפיפה ביניהן (כל נקודה על המעגל, מלבד B ו-D עצמן, שייכת בדיוק לאחת משתי הקשתות): קשת BCD + קשת BAD = 360°.
- נחבר את שתי התוצאות מסעיף א': ∠DAB + ∠BCD = (1/2)·(קשת BCD) + (1/2)·(קשת BAD) = (1/2)·(קשת BCD + קשת BAD).
- נציב: (1/2)·360° = 180°. לכן ∠DAB + ∠BCD = 180°, כנדרש (זוויות נגדיות במרובע חסום במעגל משלימות ל-180°).
תשובה: ∠DAB + ∠BCD = 180°
ג.נתון כי ∠DAB=(2k+15)° ו-∠BCD=(3k−5)°, כאשר k פרמטר. בעזרת התוצאה מסעיף ב', מצאו את ערך k ואת גודל כל אחת מהזוויות ∠DAB ו-∠BCD.
5 נק׳הציגו פתרון
- לפי סעיף ב', ∠DAB+∠BCD=180°. נציב: (2k+15)+(3k−5)=180.
- נפשט: 5k+10=180, ולכן 5k=170, כלומר k=34.
- נציב בחזרה: ∠DAB=2·34+15=83°, ∠BCD=3·34−5=97°.
- בדיקה: 83°+97°=180° ✓.
תשובה: k=34; ∠DAB=83°, ∠BCD=97°.
ד.נתון בנוסף כי ∠ABC=95°. מצאו את ∠ADC (הזווית הנגדית לה במרובע), והראו כי סכום כל ארבע זוויות המרובע ABCD שווה ל-360°.
6 נק׳הציגו פתרון
- באותו אופן כמו בסעיף ב' (הפעם עבור זוג הקודקודים הנגדי B ו-D), גם ∠ABC ו-∠ADC הן זוויות נגדיות במרובע החסום במעגל, ולכן משלימות ל-180°: ∠ABC+∠ADC=180°.
- נציב: 95°+∠ADC=180°, ולכן ∠ADC=85°.
- סכום כל ארבע הזוויות: ∠DAB+∠BCD+∠ABC+∠ADC = 83°+97°+95°+85° = 360°, כמצופה מסכום זוויות בכל מרובע.
תשובה: ∠ADC=85°; סכום כל הזוויות = 360°.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.