שאלת מתכונת — שאלון 35571

1. נשתמש בזהות cos(2x)=1−2sin²x ונבודד את sin²x: 2sin²x=1−cos(2x), ומכאן sin²x=(1−cos(2x))/2.
2. מחזור הפונקציה cos(bx) הוא T=2π/b. כאן b=2, ולכן מחזור cos(2x) הוא π. הזזה אנכית וכפל בקבוע אינם משנים מחזור, ולכן גם מחזור f הוא T=π.

תשובה: f(x)=(1−cos(2x))/2, מחזור T=π.

1. דרך ראשונה: נגזור את f(x)=(1−cos(2x))/2. נגזרת של −cos(2x) היא 2sin(2x) (כלל השרשרת), ולכן f'(x)=(1/2)·2sin(2x)=sin(2x).
2. דרך שנייה: f(x)=sin²x=(sinx)². לפי כלל השרשרת: f'(x)=2·sinx·cosx.
3. לפי זהות הזווית הכפולה sin(2x)=2sinx·cosx, מתקבל f'(x)=sin(2x) — זהה לתוצאה מהדרך הראשונה.

תשובה: f'(x) = sin(2x) (בשתי הדרכים).

1. נשווה את הנגזרת לאפס: f'(x)=sin(2x)=0, כלומר 2x=πn (n שלם), ומכאן x=πn/2.
2. נמצא את הפתרונות בקטע [0,π]: n=0→x=0; n=1→x=π/2; n=2→x=π.
3. נחשב את ערכי הפונקציה: f(0)=sin²0=0. f(π/2)=sin²(π/2)=1. f(π)=sin²π=0.
4. נבדוק את סימן הנגזרת סביב כל נקודה: עבור x∈(0,π/2), מתקיים 2x∈(0,π), sin(2x)>0, ולכן f'(x)>0 (עולה). עבור x∈(π/2,π), מתקיים 2x∈(π,2π), sin(2x)<0, ולכן f'(x)<0 (יורדת).
5. לכן: x=0 (קצה הקטע) — הפונקציה עולה מיד אחריה, ולכן זו נקודת מינימום. x=π/2 — הפונקציה עולה לפניה ויורדת אחריה, ולכן זו נקודת מקסימום. x=π (קצה הקטע) — הפונקציה יורדת מיד לפניה, ולכן זו נקודת מינימום.

תשובה: מינימום ב-x=0 וב-x=π (f=0); מקסימום ב-x=π/2 (f=1).

1. מכיוון ש-f(x)=sin²x≥0 לכל x, השטח הכלוא בין הגרף לציר ה-x בקטע [0,π] שווה פשוט לאינטגרל המסוים ∫(מ-0 עד π) sin²x dx.
2. נשתמש בצורה מסעיף א': ∫(מ-0 עד π) (1−cos(2x))/2 dx = (1/2)·[x−sin(2x)/2] מ-0 עד π.
3. נציב x=π: (1/2)·(π−sin(2π)/2)=(1/2)·(π−0)=π/2. נציב x=0: (1/2)·(0−sin0/2)=0.
4. השטח: π/2−0=π/2.

תשובה: שטח = π/2.