ערוגה מדורגת — אינדוקציה · מתכונת 35571

1. אגף שמאל עבור n=1: 1²=1.
2. אגף ימין עבור n=1: 1·(1+1)·(2·1+1)/6 = 1·2·3/6 = 6/6 = 1.
3. שני האגפים שווים (1=1), ולכן בסיס האינדוקציה מתקיים.

תשובה: עבור n=1 שני האגפים שווים ל-1.

1. הנחת האינדוקציה: מניחים כי הטענה נכונה עבור n=k, כלומר 1²+2²+...+k² = k(k+1)(2k+1)/6.
2. המטרה בצעד האינדוקציה: להראות שמתוך ההנחה נובע כי גם 1²+2²+...+k²+(k+1)² שווה לביטוי המתאים ל-n=k+1, כלומר ל-(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6.

תשובה: הנחה: 1²+...+k²=k(k+1)(2k+1)/6. יש להראות: 1²+...+k²+(k+1)²=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.

1. נתחיל מאגף שמאל עבור n=k+1 ונציב את הנחת האינדוקציה: 1²+...+k²+(k+1)² = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)².
2. נוציא גורם משותף (k+1): = (k+1)·[k(2k+1)/6 + (k+1)] = (k+1)·[k(2k+1) + 6(k+1)]/6.
3. נפתח את הסוגריים במונה: k(2k+1) = 2k²+k, ו-6(k+1) = 6k+6. נחבר: 2k²+k+6k+6 = 2k²+7k+6.
4. נפרק לגורמים את 2k²+7k+6: מחפשים פירוק מהצורה (2k+3)(k+2). נבדוק: (2k+3)(k+2) = 2k²+4k+3k+6 = 2k²+7k+6 — מתאים.
5. נציב את הפירוק: (k+1)·(2k+3)(k+2)/6 = (k+1)(k+2)(2k+3)/6, וזה בדיוק הביטוי הנדרש עבור n=k+1 (כי 2(k+1)+1=2k+3). צעד האינדוקציה הושלם.
6. לפי עקרון האינדוקציה המתמטית, הנוסחה 1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6 מתקיימת לכל n טבעי.

תשובה: לאחר הצבה ופיתוח מתקבל בדיוק (k+1)(k+2)(2k+3)/6.

1. נציב n=10 בנוסחה שהוכחה: 1²+2²+...+10² = 10·11·21/6.
2. נחשב: 10·11·21 = 2310, וכן 2310/6 = 385.
3. לכן בערוגה בת 10 שורות נדרשות בסך הכול 385 אבני ריצוף.

תשובה: 385 אבנים.