שאלון 35571פרק ב' — אינדוקצייה, סדרות והסתברות22 נקודות · ברמת הבחינה
במפעל, קו ייצור אורז יחידות מוצר בקופסאות שוות, שכל אחת מהן מכילה בדיוק 6 יחידות, ללא עודף. מנהל הייצור טוען כי בכל יום שבו מיוצרות בדיוק 7ⁿ−1 יחידות מוצר (כאשר n הוא מספר טבעי כלשהו — למשל מספר סבבי הייצור שבוצעו באותו יום), ניתן תמיד לארוז את כל היחידות בקופסאות של 6 בדיוק, בלי יחידות עודפות.
א.הוכיחו את בסיס האינדוקציה: הראו כי הטענה "6 מחלק את 7ⁿ−1" מתקיימת עבור n=1.
4 נק׳הציגו פתרון
- נציב n=1 בביטוי 7ⁿ−1: 7¹−1 = 7−1 = 6.
- 6 מחלק את 6 (המנה היא 1), ולכן בסיס האינדוקציה מתקיים.
תשובה: עבור n=1: 7¹−1=6, ו-6 מחלק את 6.
ב.נסחו את הנחת האינדוקציה עבור n=k, וקבעו במפורש מה יש להוכיח עבור n=k+1 כדי להשלים את צעד האינדוקציה.
4 נק׳הציגו פתרון
- הנחת האינדוקציה: מניחים כי הטענה נכונה עבור n=k, כלומר שקיים מספר שלם m כך ש-7^k−1 = 6m.
- המטרה בצעד האינדוקציה: להראות שמתוך ההנחה הזו נובע בהכרח כי גם 6 מחלק את 7^(k+1)−1, כלומר שהטענה נכונה גם עבור n=k+1.
תשובה: הנחה: קיים מספר שלם m כך ש-7^k−1=6m. יש להראות: 6 מחלק את 7^(k+1)−1.
ג.הוכיחו את צעד האינדוקציה: בהתבסס על הנחת האינדוקציה מסעיף ב', הראו כי 6 מחלק את 7^(k+1)−1.
9 נק׳הציגו פתרון
- נפתח את הביטוי: 7^(k+1)−1 = 7·7^k − 1.
- נוסיף ונחסר 7 כדי לחשוף את הביטוי מהנחת האינדוקציה: 7·7^k−1 = 7·(7^k−1) + 7 − 1 = 7·(7^k−1) + 6.
- נציב את הנחת האינדוקציה 7^k−1=6m: 7·6m + 6 = 42m+6 = 6(7m+1).
- הביטוי 6(7m+1) הוא כפולה של 6 (כי 7m+1 הוא מספר שלם), ולכן 6 מחלק את 7^(k+1)−1, וזה משלים את צעד האינדוקציה.
- לפי עקרון האינדוקציה המתמטית, מתקיים כי 6 מחלק את 7ⁿ−1 לכל n טבעי.
תשובה: 7^(k+1)−1 = 6(7m+1), ולכן 6 מחלק אותו.
ד.בהתבסס על ההוכחה, ובהינתן שביום מסוים בוצעו 3 סבבי ייצור (n=3) והתקבלו בדיוק 7³−1 יחידות מוצר, חשבו כמה קופסאות בנות 6 יחידות נדרשות כדי לארוז את כל היחידות בדיוק, ללא עודף.
5 נק׳הציגו פתרון
- נחשב את מספר היחידות: 7³−1 = 343−1 = 342.
- לפי ההוכחה, 6 מחלק את 342 בהכרח, ולכן ניתן לארוז את כל היחידות בקופסאות של 6 בלי עודף.
- מספר הקופסאות הנדרש: 342/6 = 57 קופסאות.
תשובה: 342 יחידות, 57 קופסאות.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.