שאלת מתכונת — שאלון 35571

1. נחשב את שני האגפים עבור n=4: 4! = 4·3·2·1 = 24, וכן 2⁴=16.
2. מכיוון ש-24>16, בסיס האינדוקציה מתקיים.

תשובה: עבור n=4: 4!=24 ו-2⁴=16, ו-24>16.

1. הנחת האינדוקציה: מניחים כי הטענה נכונה עבור n=k (k≥4), כלומר k!>2ᵏ.
2. המטרה בצעד האינדוקציה: להראות שמתוך ההנחה נובע בהכרח כי גם (k+1)!>2 בחזקת (k+1), כלומר שהטענה נכונה גם עבור n=k+1.

תשובה: הנחה: k!>2ᵏ עבור k≥4 כלשהו. יש להראות: (k+1)!>2 בחזקת (k+1).

1. לפי הגדרת העצרת: (k+1)! = (k+1)·k!.
2. לפי הנחת האינדוקציה k!>2ᵏ, ומכיוון ש-(k+1)>0, מותר להכפיל את שני אגפי אי-השוויון ב-(k+1) מבלי לשנות את כיוונו: (k+1)·k! > (k+1)·2ᵏ.
3. מכיוון ש-k≥4, מתקיים k+1≥5, ובפרט k+1>2. לכן (k+1)·2ᵏ > 2·2ᵏ = 2 בחזקת (k+1) (הכפלת אי-השוויון k+1>2 ב-2ᵏ>0 שומרת על כיוונו).
4. נשרשר את שתי אי-השוויונות: (k+1)! = (k+1)·k! > (k+1)·2ᵏ > 2 בחזקת (k+1). ומכאן (k+1)! > 2 בחזקת (k+1), כנדרש.
5. לפי עקרון האינדוקציה המתמטית, מתקיים כי n! > 2ⁿ לכל n טבעי המקיים n≥4.

תשובה: (k+1)! = (k+1)·k! > (k+1)·2ᵏ > 2·2ᵏ = 2 בחזקת (k+1).

1. מכיוון ש-n=8 מקיים n≥4, נובע ישירות מהמשפט שהוכח בסעיפים א'-ג' כי 8!>2⁸, ללא צורך לחשב דבר.
2. לאימות מספרי: 8! = 8·7·6·5·4·3·2·1 = 40320.
3. 2⁸ = 256.
4. אכן 40320>256, בהתאמה מלאה למסקנת המשפט.

תשובה: 8!=40320, 2⁸=256, ו-40320>256.